Математическое планирование эксперимента при оптимизации состава четырехкомпонентного сплава по цветовым свойствам

Применение на практике достижений современной математической теории эксперимента повышает эффективность научных исследований и значительно снижает объем экспериментальной работы, выполняемой в процессе достижения заданной цели. В металловедении часто приходится решать задачи, связанные с выбором соотношения легирующих элементов, которое обеспечивает оптимальные значения какой-либо, интересующей исследователя характеристики. Традиционный метод решения таких задач заключается в последовательном переборе различных вариантов составов. Для многокомпонентных (трех-, четырех- и т. д.) сплавов количество опытов может быть практически не ограничено. Использование математических методов планирования эксперимента позволяет на основе ограниченного числа опытов вначале приближенно найти оптимальную область, а затем математически описать зависимость требуемой характеристики сплава (отклика) от содержания легирующих элементов (факторов) [1]. Исследование полученной таким образом функции отклика на экстремум дает с заданной степенью точности величину оптимума и значения факторов, при которых достигается указанный оптимум.

Сущность задачи, решаемой в данной работе, заключается в оптимизации состава четырехкомпонентного медного сплава по одному параметру — цветовому различию ΔЕ в сравнении с эталоном, т. е. изыскании сплава недрагоценных металлов, повторяющего по цвету традиционный ювелирный сплав золота ЗлСрМ 583-80. Задача выполнялась с использованием математических методов планирования эксперимента [2].

Исходные данные для эксперимента — легирующие элементы, их основные уровни и интервалы варьирования выбирались на основании результатов предыдущих исследований (см. в этой статье). Методики изготовления образцов сплавов и определения их цветового различия по сравнению с эталоном описаны в той же статье.

В табл. 1 приведена матрица планирования эксперимента в натуральном масштабе, в скобках даны кодированные переменные и их значения.

Таблица 1

В табл. 2 приведена матрица планирования эксперимента в кодированном масштабе; последний столбец (У) представляет собой значения цветового различия в ед, МКО 15 сплавов, соответствующих по составу 1-15 строкам матрицы.

Сразу был реализован полный факторный эксперимент 23, включающий восемь опытов: 1-4 строки табл. 1 и 1-8 строки табл. 2. Дисперсию или ошибку опыта S{у} определяли по десяти параллельным измерениям ΔЕ на основном уровне; S{y} = ±0,32 ед. МКО. Затем были вычислены линейные и парные коэффициенты уравнения регрессии b₀, b₁, b₂, b₃, b₁₂, b₁₃ и b₂₃ и с учетом доверительных интервалов вероятности коэффициентов Δb_i ±0,263 для уровня зависимости α=0,05 получили уравнение регрессии:
Y = 3,6625—0,3125Х₂+1,7875Х₃—0,6875Х₁Х₂... (1)

Адекватность данного уравнения проверяли по критерию Фишера, расчетное значение которого F_расч=0,84. Б связи с тем, что табличное значение критерия для α=0,05 составляет 3,63, выполняется неравенство

F_расч ≤ F_табл,

Δb₁±0,263 для уровня значимости α=0,05 получили следующее благодаря чему гипотеза об адекватности уравнения (1) не отвергается.

Исследование полученного уравнения на экстремум несложно, так как известна величина оптимума у=0, т. с. цветовое разли¬чие исследуемых сплава и эталона &DeltaE=0. Исходя из этого, нетрудно показать, что искомые значения функции лежат вне области эксперимента при Х₁>1, X₂>1, Х₃<—1, но недалеко от ее границ. В этом случае рациональным является достроение полного факторного эксперимента 2³ нулевой и шестью «звездными» точками до центрального композиционного ортогонального плана второго порядка, позволяющего описать функцию отклика полиномом второго порядка. Указанное достроение представлено в табл. 1 строками 5 и 6, а в табл. 2 — строками 9-15.

Обращает на себя внимание знак «минус» в значении У₁₄, который свидетельствует о том, что данная точка лежит в факторном пространстве по другую сторону поверхности Y=0, чем другие точки плана, т. е. данная поверхность проходит через область эксперимента. Это было подтверждено серией из пяти контрольных опытов (рис. 1), поставленных вдоль оси фактора, оказывающего максимальное влияние на величину отклика. Из уравнения (1) видно, что таким фактором является Х₃.

После реализации плана второго порядка и вычисления коэффициентов было получено уравнение регрессии Y=1,667+0,038X₁— 0,317Х₂+1,827X₃—0.687Х₁X₂+ 0,087Х₂Х₃+0,660X₁¹+ 1,303X₂²+0,051X₃² (2)

Проверка с помощью критерия Фишера показала, что гипотеза об адекватности данного уравнения не отвергается. Используя специально разработанную программу на ЭВМ МИР-2 по методу прогона, построили в области эксперимента поверхности y=0, y=1, у=2.

На рис. 2 показаны линии пересечения этих поверхностей с плоскостями, ограничивающими область эксперимента, а также тело, все точки которого (составы сплавов) удовлетворяют условию ΔE ≤ 1 ед. МКО. Цвет таких сплавов воспринимается наблюдателем таким же, как цвет сплава ЗлСрМ 583-80. Координаты граничных точек 1-11 тела лежат в пределах

Однако пользоваться указанными неравенствами неудобно, так как переменные в них связаны сложной зависимостью (2). Для исключения взаимосвязи переменных из тела (рис. 2,б) был выбран параллелепипед, все точки которого, независимо от соот¬ношения между их координатами, лежат внутри данного тела. После введения такого ограничения и перевода кодированных значений переменных в натуральные

Где Х_нат — содержание легирующего элемента, вес.%;

X₀ — значение нулевого уровня, вес.%;

ΔХ — интервал варьирования, вес.%;

X_код — кодированное значение переменной.

были получены искомые пределы содержания легирующих эле¬ментов сплава, вес.%: цинк 3,5-7,5, алюминий 0, 4-0,7, фосфор 0,1-0,25.

Полученные результаты использованы при разработке совместно с институтом ГИПРОЦВЕТМЕТОБРАБОТКА технических условий на полуфабрикаты сплава [3, 4]. Производство полос и проволоки из этого сплава, которому присвоена марка ЛАФ 94-0,5-0,15, освоено Московским экспериментальным заводом качественных сплавов.