О методах расчета ювелирных камней из стекла

В настоящее время имеется достаточное количество литературы по огранке самоцветов и особенно алмаза, в которой всесторонне освещены вопросы, связанные с получением качественных драгоценных и полудрагоценных ювелирных камней, с отличными оптимальными показателями игры и геометрической формы (В. Андреев, В. Витовский, Р. Гродзинский и др.). Однако последнее время в ювелирной промышленности все больше находят применение искусственные камни из хрустального и цветного стекла, вырабатываемые на многокассетных станках механической огранки.

Для получения большего светового эффекта, игры камня, а также для исключения отрицательного явления — гашения значительной части лучей в оправе камня из-за большого критического угла (более 40°) эти камни в нижней части покрываются металлической (серебряной) амальгамой, бла-годаря чему полное внутреннее отражение достигает 86% всего светового потока, попадающего на боковые грани камня.

В целом ювелирный камень следует рассматривать как оптический прибор со всеми присущими ему свойствами отражения и преломления лучей. До недавнего времени технология изготовляения таких камней была заимствована из Чехоcловакии и, не имея под собой расчетной теоретической базы, выполнялась слепо. В течение последних 2 лет Ленинградским институтом точной механики и оптики под руководством заслуженного деятеля науки и техники РСФСР профессора доктора технических наук В. Н. Чуриловского были проведены на Ленинградском ювелирном заводе необходимые исследования и разработана технология расчета геометрических элементов искусственных драгоценных камней. Приводимые ниже примеры расчетов ювелирных камней из стекла представляют несомненный интерес для ювелиров, специализирующихся в области изготовления искусственных ювелирных камней из стекла, так как эти вопросы до сего времени не были освещены.

Исходные положения

Огранка искусственных драгоценных камней, изготовляемых обычно из стекла, отличается сравнительной простотой, поэтому легче поддается математическому анализу, чем огранка настоящих драгоценных камней, которая нередко бывает весьма сложной, демонстрирующей виртуозное искусство гранильщика.

В настоящей работе дан обзор некоторых математических методов, позволяющих определить оптимальную форму камней и вычислить их основные геометрические параметры (например, углы между гранями, соотношения длин ребер граней и т. п.).

На рис. 1 представлен искусственный камень традиционной огранки. По своей геометрической форме камень состоит из двух усеченных пирамид, соединенных своими нижними основаниями. Верхняя пирамида камня называется коронкой, нижняя — павильоном. Как коронка, так и павильон имеют обычно восемь боковых граней. Круглый ободок, соединяющий коронку с павильоном, носит название рундиcт. Довольно большая верхняя (горизонтальная) грань коронки, как бы срезающая вершину пирамиды, называется площадкой, а значительно меньшая нижняя грань павильона — кюлассой.

Боковые грани павильона часто покрывают металлическим отражающим слоем, чтобы заставить свет, входящий в камень через грани коронки, выйти из камня опять через грани коронки, образующие его лицевую сторону.

При идеально точном изготовлении камня все ребра боковых граней павильона должны пересекаться в одной точке — в вершине пирамиды. Вследствие неизбежных небольших погрешностей, допускаемых при обработке камня, пере-сечения всех ребер в одной точке не происходит. Чтобы скрыть этот недостаток, вершину пирамиды павильона срезают (кюласса). Поэтому чем выше точность работы (а сле¬довательно, чем выше и культура производства), тем меньше диаметр кюлассы.

В некоторых случаях боковые грани коронки могут быть покрыты тонкой прозрачной пленкой, создающей своеобразные интерференционные цветовые эффекты.

Основными геометрическими параметрами камня служат следующие угловые и линейные размеры: углы σ_к и σ_p — двугранные углы между симметрично расположенными боковыми гранями коронки и павильона; высоты h_к и h_p коронки и павильона; С — высота боковой грани коронки: d_к — диаметр окружности, вписанной в правильный многоугольник (восьмиугольник) площадки коронки; d_p — то же для кюлассы; d — диаметр рундиста. Размеры С и d определяются при ширине рундиста, равной нулю, так что истинный диаметр рундиста немного меньше.

Эту величину d удобно принять за основной габаритный параметр камня. Тогда все расчеты можно производить при условии масштаба d=1. После выполнения расчетов достаточно помнить все линейные размеры камня на заданное значение диаметра d, чтобы получить размеры камня требуемой величины.

При входе в камень, а также и при выходе из него свет преломляется на гранях коронки. При этом преломлении происходит разложение белого света в спектр, обусловленное особым свойством прозрачных сред, называемым дисперсией. Игра камня и есть результат этого физического явления. При этом очевидно, что чем больше будет угол между красным и фиолетовым лучами, на которые распался после прохождения через камень белый световой луч, тем сильнее будет и игра камня. Этот угол мы назовем угловой дисперсией камня. Основным требованием, предъявляемым к геометрической форме камня, должно поэтому быть требование получения наибольшей угловой дисперсии. Это требование должно быть доминирующим при расчете камня.

В зависимости от своей конфигурации камни могут нуждаться в нанесении на боковые грани павильона отражающего покрытия или не нуждаться в нем. Камень, не требующий покрытия, предпочтительней: во-первых, потери света в нем меньше (т. е. он светлее), так как полное внутреннее отражение на гранях павильона не влечет за собой потерь световой энергии на поглощение, неизбежных при отражении от металлического; во-вторых, он выгоднее экономически, так как при его изготовлении отпадает сложный технологический процесс покрытия граней павильона двумя слоями — отражающим и защитным.

При изготовлении камней обычно соблюдается еще одно экономическое условие

σ_к = σ_р = σ₀ (1)

Равенство углов σ_к и σ_р у вершин коронки и павильона существенно упрощает технологический процесс обработки камней, так как при этом условии обработка боковых граней павильона и коронки производится без переналадки станков. Камни, удовлетворяющие требованию (1), мы назовем ромбовидными, так как в продольном (меридиональном) сечении они имеют вид ромба с усеченными углами.

Меридиональным сечением или меридиональной плоскостью мы назовем сечение (плоскость), проходящее через ось симметрии камня. При этом мы будем проводить меридиональное сечение так, чтобы оно рассекало на две равные и симметричные половины две противолежащие наклонные грани коронки (или павильона). Разрезанные грани перпендикулярны к плоскости этого меридионального сечения. Назовем его нормальным сечением.

При проектировании и расчете камней необходимо учитывать кроме конструктивных, технологических и экономических условий, также и эстетические требования. Это касается в первую очередь относительного размера площадки коронки. Опыт говорит, что камни с очень маленькой площадкой, также как и камни со слишком большой площадкой, воспринимаются как эстетически неполноценные. В то же время нужно учитывать, что высота С боковых граней коронки не должна быть малой, так как игра камней обусловлена угловой дисперсией, возникающей на этих гранях. Уменьшение размеров этих граней влечет за собой уменьшение количества диспергированного (т. е. разложенного в спектр) света и снижает игру камня.

Существенную эстетическую роль играет отношение высоты и ширины боковых граней коронки, а с этим отношением связано число m боковых граней коронки (и павильона).

С точки зрения художественной гармонии могут быть установлены различные требования к геометрическим пропорциям камня, основанные главным образом на правиле золотого сечения. Это правило получило, начиная с эпохи Возрождения, широкое применение в архитектуре и прикладном искусстве.

В качестве простого эстетического требования можно принять условие, чтобы диаметр d рундиста был средним геометрическим между диаметром d_к площадки и суммой d + d_к этих диаметров. На основании этого требования составляется пропорция

Из этой пропорции получим квадратное уравнение для нахождения d_к:

Решая это уравнение и отбрасывая не интересный нам отрицательный корень, находим решение

Формула (3) выражает правило золотого сечения применительно к диаметрам рундиста и площадки.

Кроме того, эстетические требования должны учитываться при определении формы боковой грани коронки, так как на эти грани первым долгом падает взгляд человека, рассматривающего камень. Грань слишком высокая и узкая, также как и слишком низкая и широкая, не производят эстетически благоприятного впечатления, нужно, следовательно, и здесь руководствоваться правилом золотого сечения.

Боковая грань коронки имеет форму симметричной трапеции (закругление нижнего ребра грани рундистом не будем здесь учитывать). Пусть высота грани будет С, а средняя ширина (то есть ширина на середине высоты С будет Z, тогда по правилу золотого сечения должно быть аналогично формуле (3)

Но Z определяется как полусумма верхнего и нижнего оснований трапеции. Если m — число боковых граней коронки, то легко находим

Пользуясь теперь формулой (3), получаем вместо формулы (5)

Подставим это значение величины Z в формулу (4). После некоторых упрощающих преобразований находим

Это условие выполняется только при определенном значении угла σ_к. В самом деле, по чертежу камня (см. рис. 1) находится соотношение

Вследствие формул (3) и (7) получаем из (8)

Но угол σ_к нельзя установить только на основании всех эстетических требований, так как от этого угла зависит самое ценное оптическое свойство камня — его игра. Поэтому целесообразно воспользоваться формулой (9) для нахождения числа боковых граней коронки. Полагая в первом приближении σ_к = 96° (это значение угла σ_к практически часто встречается), находим из формулы (9)

Отсюда получаем 180°/m = 11°6' + 11°,1 и, окончательно. σ_к =16,21. Число боковых граней m должно быть целым и четным, поэтому следует принять m = 16.

Число граней m = 16 экономически очень невыгодно, хотя при этом камень удовлетворял бы самым изысканным художественным требованиям. Поэтому изменим условие (4), заменив его обратным отношением

В этом случае тоже выполняется правило золотого сечения. Подставив в выражение (10) значение 2 по формуле (6), получим

Пользуясь затем формулой (8), найдем

Из (12) следует 180°/m = 27°12' = 27,2° и, наконец, m = 6,6. Практически применяемое число боковых граней m = 8 достаточно близко к вычисленному.

Дисперсия камней

В нормальном меридиальном сечении драгоценный камень представляет собой призменную систему, в которой любой луч света претерпевает преломление на входной грани, несколько отражений и снова преломление на выходной грани. Применяя метод оптической развертки, мы можем исключить из рассмотрения действие отражающих граней и можем, поэтому,утверждать, что действие камня эквивалентно действию некоторой простой призмы с преломляющим углом σ.

На рис. 2 представлен ход светового луча через такую призму. Луч преломляется у точек Р₁ и Р₂ на входной и выходной гранях. В точках Р₁ и Р₂ проведем перпендикуляры NP₁ и NP₂ к граням призмы. Углы ω₁ и ω’₁ являются углами падения и преломления луча на входной грани призмы, а углы ω₂ и ω’₂ служат такими же углами на выходной грани. Углы падения и преломления луча на каждой поверхности связаны друг с другом законом преломления, пользуясь которым находим:

Рассмотрим треугольник Р₁NP₂. Внешний угол этого треугольника у вершины N равен преломляющему углу σ призмы, так как стороны этих углов попарно перпендикулярны друг другу. С другой стороны, внешний угол треугольника равен сумме противолежащих углов этого треугольника. Поэтому имеем

Если известны величины n и σ, то, следовательно, применяя формулы (13), (15) и (14), можно по заданному углу падения ω’₁ луча на входную грань призмы вычислить угол ω’₂ преломления луча на выходной грани.

Из приведенных формул можно получить также и формулу для непосредственного определения угла ω’₂ по заданному углу ω₁. Из (14) и (15) следует:

но

поэтому окончательно получим выражение

Рассмотрим теперь самое важное свойство камня — его способность разлагать белый луч света в спектр. Представим себе, что мы перешли от некоторой длины волны света, выбранной нами за основную, к другой длине волны. При таком переходе в правой части выражения (16) изменится только показатель преломления, так как σ и ω₁ постоянны. Пусть новый показатель будет n + δn, где δn — дисперсия стекла. Благодаря этому изменится и угол ω’₂. Пусть новый угол преломления выходящего из призмы луча будет ω’₂ + δω’₂ , гдз угол δω’₂ есть интересующая нас угловая дисперсия призмы.

Таким образом получаем

Вычитая (16) из (17), найдем

Известно, что в пределах видимой части спектра показатель преломления стекла меняется незначительно. Поэтому δn мало по сравнению с n, и мы можем пренебречь всеми степенями величины δn выше первой.

Пользуясь известными приемами приближенного вычисления, преобразуем теперь первый квадратный корень формулы (18)

Это последнее значение квадратного корня введем теперь в формулу (18). Проделав необходимые упрощения, получим

или, иначе, введя угол ω’₁:

Что же касается угла δω’₂, то считать его малым не рекомендуется. Это в особенности относится к случаю, когда угол ω’₂ приближается к 90° (скользящий выход луча из призмы). Если же угол со а невелик, можно получить приближенную формулу для δω’₂ считая эту величину малой. В этом случае левая часть (19) преобразуется следующим образом:

благодаря чему получим вместо (19)

Эта формула проще и удобнее выражения (19), однако, если ω’₀ стремится к 90°, то cos ω’₂ приближается к нулю, а потому стремится к бесконечности, что, естественно, не соответствует действительности. Учитывая это обстоятельство, будем пользоваться формулой (19), где подобное затруднение не возникает.

В самом деле, при ω’₂ = 90° по формуле (19) найдем

Заметим, что cos δω’₂, конечно, не может быть больше единицы, поэтому дисперсия δ_n должна быть отрицательной, так как в этом случае луч основного цвета находится на пределе полного внутреннего отражения на выходной грани призмы, а все лучи с более короткой длиной волны и с большим показателем n (что соответствует положительным значениям δn) испытывают полное внутреннее отражение и из призмы не выходят.

Из этих рассуждений вытекает, что для избежания потери коротковолнового излучения на выходной грани целесообразно выбрать в качестве основного цвета при расчете камней не цвет линии D спектра, а цвет линии G', лежащей у фиолетового конца спектра. С целью увеличения угловой дисперсии δω’₂ нужно, понятно, увеличить и угол ω’₂. При таком выборе основного цвета можно в некоторых случаях доводить угол ω’₂ до 90°, не опасаясь срезания коротких длин волн.

Не следует относиться пренебрежительно к стеклу, как к материалу для искусственных драгоценностей. Формула (19) показывает, что угловая дисперсия δω’₂, обуславливающая игру камня, зависит не только от дисперсии δn (которая у алмаза много выше, чем у стекла), но и от других величин, рационально подбирая которые можно создать искусственные камни, по игре мало уступающие алмазу. Вопрос этот требует внимательного анализа с помощью оптической развертки камней.

Оптическая развертка ромбовидных камней

При расчете камней традиционной формы нужно иметь в виду, что свет может проходить через камень по различным путям. В каждом камне можно проследить множество таких путей, по которым параллельный пучок лучей проходит через камень, испытав сначала преломление на входной (не покрытой металлом) грани, затем несколько отражений (полное внутреннее отражение или отражение от металлического покрытия) и, наконец, снова преломление на выходной грани. При этом важно выделить основной ход лучей, которым обусловлена игра камня. Именно на этом пути должна действовать сильная дисперсия, разлагающая проходящий через камень белый свет в гамму спектральных цветов.

В камнях традиционной формы основным ходом лучей служит путь пучка параллельных лучей, при котором пучок входит через одну из боковых граней коронки, последовательно отражается от двух противоположных граней павильона и покидает камень через боковую грань коронки, расположенную симметрично относительно входной грани.

На рис. 3 представлено меридиональное сечение ромбовидного камня DEE’D'C и показаны пути ряда лучей, относящихся к основному ходу. Луч A₁P₁P₂P’₂P’₁A’₁ проходит в камне симметричный путь, P₂P’₂║EE’. Точка P₁ падения этого луча на входную грань делит пополам высоту этой грани DE, На чертеже показаны также пути крайних лучей параллельного пучка, заполняющего всю входную грань DE (и входную грань D’E’). Главным (средним) лучом этого пучка служит упомянутый луч A₁P₁P₂P’₂P’₁A’₁. Но некоторые лучи, относящиеся тоже к основному ходу лучей, могут проходить в камне и несимметричный путь. Примером может служить луч A₂DQ₁E’B, входящий в камень у нижней точки D грани DE и покидающий камень в верхней точке E’ грани D’E’. Этот луч образует с главным лучом A₁P₁ наибольший возможный угол в пространстве предметов и с лучом Р'₁А'₁ — в пространстве изображений. Ширина параллельного пучка лучей, идущего по направлению луча A₂DQ’E’B, равна нулю (проходит только один этот луч).

Для того, чтобы всемерно увеличить преломление этого луча, а тем самым и его угловую дисперсию, целесообразно попробовать, чтобы этот луч падал на выходную грань D’Е' под предельным углом полного внутреннего отражения, В этом случае выходящий из камня луч Е'В образует угол преломления, равный 90° (скользящий луч). При этом условии достигается наибольшая угловая дисперсия для лучей основного хода и, следовательно, максимально сильная игра камня.

Вторым предельным лучом основного хода является луч проходящий, в камне путь, симметричный по отношению к пути луча. А₂DQ’E’B. И в этом случае ширина пучка лучей становится равной нулю. Таким образом, игра грани D, E, наблюдается в пределах утла, заключенного между лучами D’A’₂ и E’B. Таким же образом игра грани DE заключается в угле, образованном лучами DA₂ и ЕВ'.

Расчет параметров камня может быть существенно упрощен, если сделать так называемую оптическую развертку камня, которая выполняется по способу оптической развертки призм, практикуемой при расчете оптических систем [1].

На рис. 4 представлена оптическая развертка камня, образованная тремя контурами камня D₁E₂E₁DC, DEE’D’C и D’E’₁E’₂D’₁C, сложенными гранями CD и CD’. Из чертежа видно, что камень можно заменить эквивалентной ему простой призмой E₁NE’₁, преломляющий угол которой равен σ (у вершины N). Угол σ связан простой зависимостью с углом σ₀, образованным противоположными гранями коронки; σ₀ = ∠DMD’. Мы имеем: E₁D║D₁C и E’₁D₁║ D’₁C.

Вследствие этого ∠D₁CD’₁ = ∠E₁NE’₁ = σ. Но сумма четырех углов, вершины которых лежат в точке С, равна 360°. Поэтому находим

отсюда получаем для определения угла σ₀ формулу

Обратимся теперь к рассмотрению хода трех лучей, относящихся к основному ходу, используя чертеж оптической развертки камня (см. рис. 4).

А. Первый предельный луч

Рассмотрим ход предельного луча KE1D’K’, который образует у точки E₁ угол падения ω’₁ = 90°. Поэтому по формуле (13) найдем

угол ω’₁ получим по формуле (15), а из формулы (16) в нашем случае следует

Для угловой дисперсии σω’₂ получим теперь, применяя выражение (19)

По ходу рассматриваемого предельного луча возникает возможность определения преломляющего угла σ развертки камня, а следовательно, и основного параметра камня, угла σ₀. Для этого представим себе, что из точки D опущен перпендикуляр на луч E₁D’ (на рис. 4 не показан). Длина l₁ этого перпендикуляра определяется двумя выражениями, легко находимыми по чертежу

где С = E1D — высота наклонной грани коронки;

d = DD’— диаметр рундиста.

Для угла Е₁D’D находим по чертежу выражение

Угол DD’N легко определяется по чертежу

вследствие чего имеем вместо (28)

Отсюда найдем, пользуясь формулой (15),

Вводя это значение угла E₁D’D в (27), получим

Учитывая, что угол ω’₁ определен формулами (24), а отношение С/d определяется исходя из эстетических соображений, изложенных выше, мы можем использовать выражение (29) для определения угла σ, после чего по формуле (23) находится также и угол σ₀.

Эстетические соотношения, связывающие величины С и d, представлены либо формулой (7), либо формулой (11). Обобщая эти результаты, мы заменим эти формулы выражением

где введен коэффициент К₁, который может принимать различные значения в пределах

0,5 ≤ к ≤ 1,3. (31)

Считая поэтому отношение С/d известным, введем вспомогательный угол ε

Тогда из формулы (29) определим угол ε

после чего из выражения (32) находится, наконец, угол σ

В. Средний луч

Рассматривая ход среднего луча LRR’L’, замечаем, что его путь в развертке симметричен (луч проходит развертку камня при минимуме отклонения). Поэтому достаточно определить лишь углы ω и ω', образованные этим лучом у точки падения R. Углы падения и преломления этого луча у точки R’ соответственно равны углам ω и ω'.

По чертежу определяем

так как углы ω' и Е'NС имеют взаимно перпендикулярные стороны. Угол ω находится по закону преломления (13)

Учитывая симметрию хода этого луча, определим теперь угловую дисперсию δω’₂, применяя формулу (19)

Отсюда следует благодаря выражениям (35) и (36)

После понятных упрощений окончательно находим выражение для вычисления

С. Второй предельный луч

Второй предельный луч (на рис. 4 он не показан) проходит через точки D и E’₁ симметрично относительно первого предельного луча и образует поэтому соответственно такие же углы падения и преломления, как и первый луч, но следующие в обратном порядке. На выходе у точки E’₁ второй предельный луч образует угол преломления, равный 90°. Для определения угловой дисперсии этого луча можно поэтому применить формулу (21)

Угол ω₂ (1-го луча) определяется выражением (15), из которого следует

Подставив это значение cos ω₂ в (38) и учитывая, что угол ω'₁ определяется выражениями (24), получим окончательно

В заключение следует заметить, что некоторым недостатком анализируемого здесь метода расчета параметров искусственных драгоценных камней является то обстоятельство, что ширина предельных пучков лучей равна нулю, а следовательно, практически по направлению этих пучков свет передаваться не будет. Чтобы избежать этот недостаток, можно рекомендовать выбрать значения коэффициента К формулы (30) заниженным, например, по нижнему пределу формулы (31) или еще меньше. Расчетное отношение C/d будет при этом тоже занижено. Поэтому после выполнения всех расчетов следует увеличить высоту С боковой грани коронки. Благодаря такому приему увеличивается ширина предельных пучков и устраняется указанный недостаток.

Сводка рассчетных формул

Выведенные выше формулы, служащие для определения основных параметров и оптических характеристик искусственных драгоценных камней, не приведены к форме, наиболее удобной для практического расчета при помощи логарифмических таблиц. Ниже приводится сводка этих формул в виде, наиболее пригодном для практических вычислений.

Весь расчет целесообразно разбить на два этапа: а) расчет основных параметров камня и б) расчет его оптических характеристик. За формулами сохранена нумерация, приведенная в тексте (даже в случаях, когда формулы приведены к логарифмическому виду).

а) Расчет основных параметров камня

Приступая к расчету, следует установить необходимые оптические характеристики марки стекла (или иного прозрачного материала), из которого предложено изготовить камень.

Для расчета необходимо знать показатель преломления n для цвета фиолетовой спектральной линии G’; n = n_G. Этот цвет принят нами за основной цвет. Кроме того нужна еще дисперсия δn, которая представляет собой разность показателей преломления для линий С и G'; n_C – n_G’. Дисперсия δn всегда отрицательная.

Имея эти величины, мы можем приступить к расчетам. Зная число m боковых граней коронки и задавясь значением коэффициента К (раздел III), находим отношение С/d

Определяем угол ω'₁

По синусу ω находится самый угол, а затем и его косинус. Далее определяем вспомогательный угол ε

По его синусу определяется самый угол ε. Затем вычисляем преломляющий угол σ оптической развертки камня

Наконец, определяем угол σ между гранями коронки (и павильона)

Величина σ₀ определяет все остальные угловые параметры камня. При заданном диаметре d рундиста по формуле (30) вычисляется высота С наклонной грани коронки. Но она получается заниженной, и ее следует несколько увеличить против вычисленной величины

b) Расчет основных оптических характеристик камня

Вычисляем углы падения и преломления на выходной грани развертки по ходу первого предельного угла

Угол 90° — ω'₂ определяет собой угол, в пределах которого наблюдается игра камня.

Находим вспомогательный угол ε₁

Вычисляем углевую дисперсию δω'₂ по ходу первого предельного луча

Определяем вспомогательный угол ω

Определяем вспомогательный угол ε₂

Вычисляем угловую дисперсию δω’₂ по ходу среднего луча (при минимуме отклонения)

Наконец вычисляем угловую дисперсию δω’₂ по ходу второго предельного луча

Угол ω₂ определен выше по формуле (15).

Определением трех углов δω’₂ расчет камня заканчивается.

Примерные численные расчеты

В табл.1 приведены показатели преломления n_D и коэффициенты средней дисперсии для отечественных и чешских стекол. Из этой таблицы видно, что отечественное стекло обладает существенно более высокой дисперсией. Следовательно, при равном качестве изготовления отечественные камни должны обладать более высокой игрой, чем чешские.

Таблица 1 [2]

Таблица 2 [2]

Использовать приведенные в табл. 1 данные для практического расчета, к сожалению, не представляется возможным, так как для расчета нужны другие характеристики стекла (nG’ и n = n_C — n_G). В каталоге отечественного оптического стекла нет марок стекла, хотя бы минимально приближающегося к стеклам табл. 1. Однако путем сравнения данных таблицы с данными оптических стекол каталога можно с достаточной достоверностью определить n_G для стекол таблицы: для отечественного стекла n_G = 1,5477 и для чешского n_G = 1,5210. Определить таким способом дисперсию δu оказалось невозможным. Поэтому мы выполним здесь только первый этап расчета, определяющий основные параметры камней отечественного и чешского производства. Расчет производим при помощи шестизначных логарифмических таблиц В. Иордана с десятичным делением углов.

Интересно сравнить полученные значения углов σ₀ с их измеренными значениями, приведенными в табл. 2. Совпадения с нижними пределами измеренных углов для коронок получились очень хорошие. У павильонов имеется хорошее совпадение для чешских камней.

В камнях отечественного производства павильоны имеют углы, превосходящие расчетные почти на 3°. Совпадение результатов нашего расчета с практическими данными свидетельствует о возможности в дальнейшем производить расчет камней описанным здесь способом.

Расчет ромбовидных ИДК традиционной формы из отечественного стекла

В предыдущей работе даны формулы для расчета искусственных (из любого материала) драгоценных камней, удовлетворяющих следующим условиям:

1) их внешняя форма соответствует традиционным требованиям (наличие площадки, коронки, рундиста, павильона и кюлассы при любом числе боковых граней коронки или павильона

2) соотношение размеров граней отвечает некоторым эстетическим требования («золотое сечение»);

3) форма ИДК обеспечивает максимальную угловую дисперсию для основного хода проходящих через камень световых лучей при достаточно большом угле, в пределах которого эта дисперсия может наблюдаться, чем и достигается максимально возможная «игра» камня, изготовленного из данного материала.

В настоящей работе дается полный расчет для камней, оптические свойства которых уже определены ранее. При этом взяты данные, полученные нами для отечественного стекла. Коэффициенты преломления для разных длин волн и дисперсия стекла получены частью непосредственным измерением на отдельных образцах, а частью путем интерполяции по известным дисперсионным формулам.

Исходными данными для расчета являются следующие характеристики:

В качестве основного цвета принят цвет спектральной линии G', лежащей в фиолетовой части спектра (такой выбор удобен для практического расчета). В сторону красного конца спектр еще простирается за линию С, но и кривая «видимости» для человеческого глаза показывает, что количество световой энергии, воспринимаемой глазом в этой области, невелико, и им следует пренебречь, то же можно сказать и об участке видимого спектра, лежащем между его фиолетовым концом и линией G'.

Расчетные формулы были разбиты на две группы: формулы (1—5), служащие для расчета основных параметров камня, и формулы (6—13), позволяющие определить основные оптимальные характеристики камня — его «игру» (см. предыдущую статью). Обе группы формул развернуты в расчетные схемы для выполнения вычислений при помощи логарифмических таблиц, так как наличие в этих формулах различных тригонометрических функций не позволяет использовать для вычислений ни арифмометры, ни электронные вычислительные машины. При расчете применены шестизначные логарифмические таблицы В. Иордана. Вычисления выполнены для следующих значений числа боковых граней m: 4, 6, 8, 10, 12 и 16.

Основными определяемыми параметрами камней являются две величины:

С/d — отношение высоты боковой грани коронки к диаметру рундиста;

σ₀ — угол, образованный противоположными боковыми гранями коронки.

Результаты расчета приведены в табл. 1.

Таблица 1

По этим данным легко находятся относительные размеры (при условном масштабе d = 1) камней.

По данным измерения камней при m = 8 вместо расчетного σ₀ = 99°14' получены углы а со значительным разбросом: в коронке 98°55'—103°21', в павильоне 101°57'—103°50’. В среднем эти углы более соответствуют расчетному углу при m = 6; σ₀=101°39'.

Наиболее вредными являются отступления в угле σ₀ павильона: его грани — отражающие, поэтому ошибка в направлении луча δα определяется формулой

где δσ₀ — отклонение угла σ₀ от расчетного значения.

В данном случае δσ₀ достигает величины 4°36', а δα = 13°48' ≈ 14°. Такое отклонение в ходе лучей несомненно должно привести к значительному ухудшению «игры» камней.

Что касается величины C/d (относительной высоты боковых граней коронки), то выдерживать эту величину, определяемую в основном из эстетических соображений, с большой точностью не требуется. Можно даже сильно изменить ее, руководствуясь иными эстетическими принципами, в сторону ее увеличения. Уменьшение величины C/d нежелательно, так как оно приведет к уменьшению угла Ω видимости игры камня.

Оптические характеристики искусственных камней отечественного производства вычислялись при помощи формул (6 — 13), которые предварительно были развернуты в схему для логарифмического расчета, выполненного для тех же значений числа боковых граней коронки. Таким образом получены следующие характеристики величины для каждого камня:

три значения угловой дисперсии δω'₂ для первого предельного луча (δω'₂) I для среднего луча (δω'₂) II и второго предельного луча (δω'₂) III; и

угол Ω видимости игры каждого камня, то есть угол, образованный первым и вторым предельными лучами (для линий G’ спектра).

Результаты расчета сведены в табл. 2.

Анализ табл. 2 позволяет сделать следующие выводы:

наиболее ценной по величине дисперсии является область, примыкающая ко второму предельному лучу, так как угловая дисперсия этого луча во много раз превосходит угловую дисперсию первого предельного луча (при m = 8 более чем в 7 раз). Поэтому не следует делать величину C/d меньше вычисленной ранее, так как при этом срезается ценная часть луча;

угловая дисперсия возрастает с увеличением числа граней камня. Но если для среднего луча дисперсия увеличивается довольно равномерно, то для обоих предельных лучей возрастание угловой дисперсии с увеличением m постепенно замедляется. Эта закономерность особенно отчетливо выражена для второго предельного луча, обладающего наибольшей дисперсией. При удвоении числа боковых граней от m = 4 до m = 8 угловая дисперсия увеличивается на 2°25’, что составляет примерно 30% от ее первоначального значения. При следующем удвоении граней от m = 8 до m = 16 дисперсия возрастает только на 54, т. е. на 8%. В то же время переход от m = 8 к m = 16 связан с громадным ростом трудоемкости технологического процесса изготовления камней. Она увеличивается не просто в два раза вследствие удвоения числа всех операций, требуемых для обработки каждой грани камня. В этом случае необходимо существенно повысить точность соблюдения всех угловых и линейных размеров камня и учесть резкое возрастание брака по размерам граней. Эти соображения приводят к заключению, что переход от 8 к 16 боковым граням коронки экономически нецелесообразен и достигаемое при этом переходе незначительное повышение дисперсии не окупает затрат. Можно даже утверждать, что число граней m = 8 является оптимальным в том смысле, что повышение этого числа не дает эффекта, ради которого имело бы смысл пойти на повышение трудоемкости технологии изготовления искусственных драгоценных камней;

последняя строка нашей таблицы дает величину угла Ω, в пределах которого видна игра камня. Эта величина постепенно падает от 84° при m=4 до 36° при m = 16. Если представить, что наблюдатель смотрит на камень, совершающий произвольные вращательные движения в пространстве, то с уменьшением угла Ω, уменьшаются шансы наблюдателя попасть в пределы угла Ω и, следовательно, увидеть игру камня. Учесть эти шансы математически в соответствии с реальными условиями затруднительно. Можно, однако, утверждать, что эта характеристическая величина ОΩ не играет решающей роли, если только она не становится очень малой, например Ω < 12°. При m = 8 угол и составляет почти 55°, что обеспечивает очень хорошую видимость игры камня.

Расчет ромбовидных ИДК традиционной формы из чешского стекла

Расчеты были выполнены для ИДК, изготовленных из чешского сырья. Коэффициенты преломления чешского стекла получены частью путем непосредственного измерения на предоставленных заказчиком образцах, а частью — при помощи расчета по известным интерполяционным формулам.

Чешское стекло обладает следующими оптическими характеристиками:

Сравнивая эти данные с характеристиками отечественного стекла, замечаем, что последнее обладает существенно большей дисперсией δn, что должно привести к лучшему эффекту отечественных камней по сравнению с чешскими (при равном качестве их обработки).

Расчет основных параметров чешских камней, выполнен-ный по формулам (1—5), привел к результатам, данным в табл. 3.

Таблица 3

Сравнение этих данных с аналогичной таблицей в предыдущей работе показывает, что минимальная высота боковых граней коронки для чешских камней такая же, как и для отечественных. Что же касается угла σ₀, образованного противолежащими гранями коронки (и павильона), то он для чешских камней несколько меньше, чем для наших. Разница этих углов меняется от 50' при m = 4 до 37' при m = 16, При m = 8 она составляет 42'.

Характеристики оптических свойств чешских ИДК, рассчитанные по формулам 6—13, приводятся в табл. 4.

Из табл. 4 следует, что угловая дисперсия чешских камней меньше угловой дисперсии отечественных камней. Так, например, для m = 8 разница дисперсий в пользу наших камней составляет: для первого предельного луча 23'36", для среднего луча 25'46" и для второго предельного луча 1°28'33". Эта разница не очень велика, но вполне ощутима. При равноценной с чешской технологии изготовления ИДК продукция отечественной ювелирной промышленности может рассчитывать на успех на мировом рынке.

Угол видимости Ω чешских камней тоже меньше угла видимости наших камней (за исключением случая m = 4), хотя эта разница и не играет существенной роли.

Расчет ИДК новой формы

Предлагаемый нами камень новой формы представлен на рис. 1 в двух проекциях. Как видно по этому чертежу, новая форма ИДК отличается от традиционной наличием следующих признаков:

1. Отсутствует павильон, замененный плоской амальгамированной поверхностью.

2. Двухгранный угол с_к, образованный дпумя противолежащими боковыми гранями коронки, увеличен до ~ 120° и не зависит от числа m боковых граней.

3. Размер площадки уменьшен до величины, немного превосходящей размер кюлассы камня традиционной формы.

Вследствие этих изменений возникают следующие преимущества предлагаемой новой формы ИДК:

1) Объем и вес камня, а следовательно и стоимость расходуемого сырья, уменьшаются в 4—5 раз (при том же диаметре рундиста).

2) Отсутствие павильона значительно уменьшает (при одинаковом числе боковых граней) трудоемкость технологического процесса обработки камня (почти в два раза).

3) Упрощается также крепление камня в ювелирном изделии.

Нужно заметить, что значительное уменьшение размера площадки камня желательно по следующим соображениям. В ходе лучей, проникающих в камень через верхнюю площадку, отраженных от нижней плоской грани и покидающих камень опять через верхнюю площадку, возникает не разложенное в спектр (ахроматическое) изображение внешних предметов, как в плоском стеклянном зеркале, амальгамированном на задней стороне. Появление такого изображения в ювелирном изделии нежелательно. Уменьшение размера верхней площадки устраняет возможность обнаружения этого изображения.

Теория камня новой формы сравнительно проста. На рис. 2. представлено поперечное сечение такого камня. Пусть двугранный угол, образованный одной из боковых граней камня с его плоским основанием, будет σ = ВОС. Первым крайним лучом, в ходе которого обнаруживается угловая дисперсия, служит луч АВС. Этот луч проходит через грань ОС по нормали к ней, отражается от плоского основания камня у точки В и снова падает на наклонную грань у точки С, но теперь под предельным углом полного внутреннего отражения, так что выходящий из камня луч CD образует угол преломления, равный 90°. Вторым крайним лучом служит тот же луч, но рассматриваемый в обратном ходе DCBA. Таким образом угол Ω, в пределах которого наблюдается игра камня, образуется лучами AB и DC и как видно по чертежу, равен 90°. Средним лучом служит луч А₁В₁С₁, падающий на основание OB камня по нормали к этому основанию.

Развитая в теоретической части настоящей работы методика позволяет выполнить расчет ИДК новой формы. Эта методика состоит из двух этапов:

1) определение геометрических параметров камня при помощи его оптической развертки;

2) определение угловой дисперсии для нескольких ходов лучей, пользуясь выведенными специальными формулами.

Оптическая развертка ИДК новой формы показана на рис. 3. В развертке камень превращается в преломляющую призму с преломляющим углом, равным 2σ. Оба крайних луча представлены лучом ACD в прямом и обратном ходе. Средний луч A₁B₁C₁D₁ проходит через призму при минимуме угла отклонения луча.

По чертежу находим для первого крайнего луча ω₁ = ω'₁ = 0; ω₂ = 2σ; ω'₂ = 90°. Но угол ω₂ есть предельный угол полного внутреннего отражения, поэтому sin ω₃ = 1/n. Отсюда получаем формулу для вычисления угла а камня новой формы

Пользуясь оптическими характеристиками отечественного стекла, (см. пред. статью), получим σ = 20°7’30".

Для расчета угловой дисперсии первого крайнего луча при ω'₂ = 90° следует применить формулу (21) (там же), которая дает в нашем случае выражение

Выполнив численный расчет, получим

Для среднего луча имеем ω'₁ = ω₁ = σ, а поэтому

Расчет угловой дисперсии в этом случае удобно произвести по формуле (20) (там же), из которой после упрощений получаем окончательное выражение

Для вычисления величины δω'₂ следует предварительно найти угол ω'₂ по формуле (3). Численный расчет приводит к результату

δω'₂ (средн. луча) = 1°22'18".

Для второго крайнего луча имеем по чертежу ω₁=90°; ω'₁ = 2σ; ω₂ = ω'₂ = 0. Поэтому из формулы (20) (там же) находим выражение

В результате численного расчета по формуле (5) находим

δω'₂ (второго крайнего луча) = 1°5’12".

Таким образом здесь получены характеристические параметры ИДК новой формы, позволяющие сравнить их с камнями традиционной формы. С этой целью в табл. 5 наряду с рассчитанными выше для камней традиционной формы характеристиками даны характеристики камней новой формы,

Таблица 5

Из табл. 5 вытекает, что ИДК новой формы по их «игре» близко подходят к традиционным камням при шести боковых гранях коронки, но уступают в этом отношении традиционным камням с восемью боковыми гранями. Учитывая, однако, другие положительные свойства их, можно считать, что новая форма камней получит широкое практическое применение.